做數(shù)學(xué)：學(xué)科育人的創(chuàng)新路徑

“做數(shù)學(xué)”的核心在于“做”，實(shí)踐“做中看”“做中思”“做中說(shuō)”“做中悟”的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)“促進(jìn)認(rèn)知，讓學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)；激發(fā)情感，讓學(xué)生愿意學(xué)數(shù)學(xué)；啟迪智慧，讓學(xué)生智慧學(xué)數(shù)學(xué)；塑造品格，讓學(xué)生高品位地學(xué)數(shù)學(xué)”。

——史寧中

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)學(xué)科。數(shù)學(xué)對(duì)象與內(nèi)容的高度抽象性，以及教科書(shū)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)果式呈現(xiàn)，為教學(xué)中“重結(jié)果輕過(guò)程”的教學(xué)生態(tài)提供了天然溫床。為改變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的生態(tài)，江蘇省一批數(shù)學(xué)教育工作者組成的研究和實(shí)踐團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)近20年的探索，提出“做數(shù)學(xué)”的主張，走出一條學(xué)科育人的創(chuàng)新路徑。

“做數(shù)學(xué)”讓學(xué)生不再害怕數(shù)學(xué)

“做數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有章可循

“做數(shù)學(xué)”是以“做”為支架的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在動(dòng)手動(dòng)腦相協(xié)同的過(guò)程中人人參與的、以實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)活動(dòng)，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式。

“做數(shù)學(xué)”中“做”是其精義和主旨所在，“做數(shù)學(xué)”貫徹以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，按照“生活數(shù)學(xué)——活動(dòng)思考”的教學(xué)主線，研究團(tuán)隊(duì)編制了《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)手冊(cè)》《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》等文本，并研制了系列化的學(xué)具，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有章可循。

“做數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有路可走

根據(jù)“做數(shù)學(xué)”的目標(biāo)指向不同，我們?cè)O(shè)計(jì)了3種“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐范式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有路可走。

第一種是數(shù)學(xué)體驗(yàn)，其目標(biāo)指向是感知理解，具體流程為“操作—觀察—感悟—理解”。數(shù)學(xué)體驗(yàn)中的“做”，是讓學(xué)生動(dòng)手操作，在操作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，在學(xué)生獲得大量感性知識(shí)的同時(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲。比如，小學(xué)階段探索“三角形內(nèi)角和”，可以通過(guò)“剪一剪”“圍一圍”“拼一拼”等操作活動(dòng)，結(jié)合“動(dòng)筆圍”與“動(dòng)手畫(huà)”的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生不知不覺(jué)地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

第二種是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其目標(biāo)指向是發(fā)現(xiàn)推理，具體流程為“操作—探究—發(fā)現(xiàn)—論證”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的“做”，是學(xué)生利用一定的工具（實(shí)物或軟件），通過(guò)動(dòng)手操作、觀察思考、歸納抽象等過(guò)程，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如，通過(guò)“糖水實(shí)驗(yàn)”學(xué)習(xí)探索分式的有關(guān)性質(zhì)，使分式性質(zhì)的學(xué)習(xí)變得“看得見(jiàn)、摸得著、嘗得到”。

第三種是綜合實(shí)踐，其目標(biāo)指向是問(wèn)題解決，具體流程為“實(shí)踐操作—活動(dòng)思考—問(wèn)題解決”。綜合實(shí)踐中的“做”，是學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從熟悉的現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)、選擇和確定問(wèn)題，主動(dòng)應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。比如，通過(guò)“測(cè)量旗桿高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，可以加深對(duì)相似三角形、銳角三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

“做數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有據(jù)可依

“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)更積極的行動(dòng)、注重能親歷的實(shí)踐、彰顯多維度的交互、突出真情境的活動(dòng)、關(guān)照更完整的過(guò)程，這些都是“做數(shù)學(xué)”所呈現(xiàn)出來(lái)的本質(zhì)特征，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理想樣態(tài)。具體來(lái)說(shuō)，“做數(shù)學(xué)”的以下特點(diǎn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有據(jù)可依。

情境性：“做數(shù)學(xué)”是在某個(gè)特定創(chuàng)設(shè)的環(huán)境中進(jìn)行的，可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，讓學(xué)生愿意學(xué)習(xí)，進(jìn)而積極主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)之中。

實(shí)踐性：“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)的是動(dòng)眼觀察、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考相結(jié)合，可以調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí)，讓學(xué)生有興趣學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)具身認(rèn)知。

主體性：“做數(shù)學(xué)”讓學(xué)生在活動(dòng)中獲取理解概念所需的“事實(shí)”，從而形成對(duì)概念本質(zhì)的深刻體悟，實(shí)現(xiàn)自主性學(xué)習(xí)。

過(guò)程性：“做數(shù)學(xué)”可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，通過(guò)“做”延長(zhǎng)知識(shí)的獲得過(guò)程，并且提供學(xué)生感悟知識(shí)精髓的時(shí)間與空間，實(shí)現(xiàn)體驗(yàn)性學(xué)習(xí)。

激勵(lì)性：“做數(shù)學(xué)”能讓學(xué)生有渴求知識(shí)的感覺(jué)，使學(xué)生獲得“如何思考”的智慧，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

創(chuàng)新性：“做數(shù)學(xué)”具有一定開(kāi)放度，能促進(jìn)不同風(fēng)格和認(rèn)知水平的學(xué)生進(jìn)入活動(dòng)之中，并根據(jù)各自的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐，獲得不同的創(chuàng)新體驗(yàn)。

“做數(shù)學(xué)”讓關(guān)鍵能力培養(yǎng)落地

做中學(xué)：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

“做中學(xué)”讓學(xué)生在做中觀察、在做中思考，進(jìn)而轉(zhuǎn)變學(xué)的方式、學(xué)的行為和學(xué)的習(xí)慣。通過(guò)“做中學(xué)”，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，提高“數(shù)學(xué)有用”和“用好數(shù)學(xué)”的意識(shí)及其能力，激發(fā)“做”的積極性，進(jìn)而學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。懷特海認(rèn)為，教育不是往行李箱里塞滿(mǎn)物品的過(guò)程。從學(xué)科教育來(lái)說(shuō)，“塞滿(mǎn)”意味著告訴和派送，還意味著放得又快又滿(mǎn)，這樣容易導(dǎo)致知識(shí)“夾生”。事實(shí)上，教師總是希望教給學(xué)生更多的客觀知識(shí)和精確結(jié)論，這是違背學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的?！白鲋袑W(xué)”正是基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將過(guò)程目標(biāo)具體化的一種活動(dòng)。比如，“月歷中的數(shù)學(xué)”這一主題，通過(guò)“看數(shù)”“想數(shù)”“算數(shù)”和“說(shuō)數(shù)”4個(gè)簡(jiǎn)單的活動(dòng)，不僅沒(méi)有“塞滿(mǎn)”課堂空間，也沒(méi)有“塞滿(mǎn)”學(xué)生大腦，而是讓學(xué)生在“做中學(xué)”，形成“數(shù)學(xué)的眼光”。

做中思：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界

“做中思”是“做數(shù)學(xué)”的本質(zhì)，起于做數(shù)學(xué)，成于數(shù)學(xué)思考，終于想數(shù)學(xué)。“想”數(shù)學(xué)表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面是想概念的來(lái)龍去脈、想概念的發(fā)生過(guò)程、想概念的適應(yīng)性和適用范圍；另一方面，想的過(guò)程是一種再思考的過(guò)程，是一種再聯(lián)系的過(guò)程，是一種評(píng)價(jià)反思的過(guò)程，也是一種規(guī)則的確認(rèn)過(guò)程。比如，“折紙與黃金矩形”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，一方面能讓學(xué)生在具體的做中獲得感性概念，并促進(jìn)這一經(jīng)驗(yàn)引起的相對(duì)持久的心理變化；另一方面通過(guò)“想”，能讓學(xué)生將感性概念上升到理性思維狀態(tài)，即“折什么、為什么折和怎樣折”。但是由于“折黃金矩形”是較為復(fù)雜的折紙，很難讓學(xué)生憑空想象。為此，可以借助希沃白板，設(shè)置“畫(huà)圖”流程，為“想到怎樣折”提供支持條件，體驗(yàn)折的合情合理性。

做中說(shuō)：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界

“做數(shù)學(xué)”本身就承載著表達(dá)功能，可以將“說(shuō)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“表達(dá)能力”。“做中說(shuō)”是一種數(shù)學(xué)表達(dá)，起于說(shuō)數(shù)學(xué)，成于實(shí)踐反思，終于用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。換言之，讓學(xué)生在“做”的過(guò)程中，形成概括與反思能力?；谶@一認(rèn)識(shí)，“做中說(shuō)”就是讓學(xué)生在做中反思，在反思中形成數(shù)學(xué)表達(dá)，讓學(xué)生知道“我在做什么、為什么做、這樣做的目的”，也就是讓“做”引導(dǎo)學(xué)生思考，形成問(wèn)題解決能力。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的發(fā)展依賴(lài)于5個(gè)相互聯(lián)系的元素，即概念、技能、過(guò)程、態(tài)度和元認(rèn)知。其中，元認(rèn)知是個(gè)人對(duì)自己的思維過(guò)程的認(rèn)識(shí)與調(diào)節(jié)，其核心就是批判性反思。事實(shí)上，“做數(shù)學(xué)”的最大作用就是調(diào)用了元認(rèn)知表達(dá)。比如，在研究“線段的大小比較”時(shí)，“估算”表達(dá)不精確，無(wú)法產(chǎn)生客觀的知識(shí)和精確的結(jié)論，而“度量”容易產(chǎn)生誤差積累。通過(guò)希沃技術(shù)條件下的“畫(huà)”，能直觀地顯化“大與小”，為規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)奠定基礎(chǔ)。

“做數(shù)學(xué)”讓學(xué)科育人成為可能

促進(jìn)認(rèn)知：讓學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)

“認(rèn)知”，包括感覺(jué)、直覺(jué)、注意、表象、記憶、思維、語(yǔ)言、概念、問(wèn)題解決等。從心理學(xué)研究范疇來(lái)說(shuō)，認(rèn)知是一個(gè)人是否有能力做某事，即“能不能”或“會(huì)不會(huì)”的問(wèn)題。而以“做”為支架的學(xué)習(xí)活動(dòng)，要調(diào)動(dòng)多種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知，通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)，獲得抽象數(shù)學(xué)概念、原理所需要的現(xiàn)實(shí)材料。在此基礎(chǔ)上展開(kāi)歸納、類(lèi)比、抽象、概括，從而獲得概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并獲得解決問(wèn)題的啟示。在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)體驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)感知數(shù)學(xué)，通過(guò)想象與推理引發(fā)思考，通過(guò)概括與運(yùn)用解決問(wèn)題。換言之，“做”為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“階梯”，讓不同發(fā)展水平的學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)。

激發(fā)情感：讓學(xué)生愿意學(xué)數(shù)學(xué)

“情感”，包括動(dòng)機(jī)、求知欲、欲望、學(xué)習(xí)熱情、自尊心、自信心、好勝心等。情感是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力源，即“想不想”“愿不愿意”的問(wèn)題。而由于“做數(shù)學(xué)”具有情境性和操作性特征，其過(guò)程不僅有趣、生動(dòng)、形象、直觀，而且在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下還有一定的挑戰(zhàn)性。因此，能極大地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，引起學(xué)生的好奇，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度投入實(shí)驗(yàn)、探究活動(dòng)之中。在“做”的過(guò)程中，學(xué)生多種感官參與并受到不同程度的刺激而顯得異?；钴S，這樣有利于調(diào)動(dòng)不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生發(fā)揮其長(zhǎng)處和優(yōu)勢(shì)，從而建立起他們的學(xué)習(xí)自信，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。實(shí)踐表明，這樣的過(guò)程，讓學(xué)生深刻體會(huì)到“數(shù)學(xué)好玩”，因而想學(xué)數(shù)學(xué)、愿意學(xué)數(shù)學(xué)。

啟迪智慧：讓學(xué)生智慧學(xué)數(shù)學(xué)

“智慧”，是指對(duì)事物能迅速、靈活、正確地理解和處理的能力。智慧是生命所具有的基于生理和心理器官的一種高級(jí)創(chuàng)造性思維能力，即反映一個(gè)人“聰不聰明”的問(wèn)題。而“做數(shù)學(xué)”正是可以讓學(xué)生智慧地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“腳手架”，表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是通過(guò)觸覺(jué)、知覺(jué)、類(lèi)比等直覺(jué)思維和形象思維、動(dòng)作記憶等認(rèn)知活動(dòng)，激活大腦右半球。同時(shí)，在對(duì)直觀材料進(jìn)行抽象、概括等過(guò)程中，啟用了大腦左半球。這樣，讓右半球的直覺(jué)與左半球的理性有效融合、協(xié)同發(fā)展。二是通過(guò)“做”，學(xué)生不僅經(jīng)歷了數(shù)學(xué)對(duì)象要素、概念內(nèi)涵的抽象過(guò)程，以及數(shù)學(xué)法則、公式等歸納和發(fā)現(xiàn)過(guò)程，而且產(chǎn)生“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”的方法論感悟。三是在操作的過(guò)程中，經(jīng)“形象”到“具象”至“表象”，進(jìn)而發(fā)展和形成想象，提升和豐富學(xué)生的想象力。由此可見(jiàn)，“做數(shù)學(xué)”可以開(kāi)發(fā)大腦、感悟方法、發(fā)展想象，讓學(xué)生變得聰明，可以智慧學(xué)數(shù)學(xué)。

塑造品格：讓學(xué)生高品位地學(xué)數(shù)學(xué)

“品格”，即品德和人格。品格決定了一個(gè)人回應(yīng)人生處境的模式，即“品位高不高”的問(wèn)題。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用。”這就要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須達(dá)到“高品位”的境界，而“做數(shù)學(xué)”是幫助學(xué)生達(dá)到這一境界的現(xiàn)實(shí)路徑。比如，“做數(shù)學(xué)”可以形成求真、實(shí)事求是的科學(xué)精神，形成符合邏輯思維、實(shí)證意識(shí)的理性精神，形成不怕失敗、不怕困難、敢于挑戰(zhàn)、敢于批判的探索精神，形成相互學(xué)習(xí)、相互尊重的合作意識(shí)以及批判性思維和善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的創(chuàng)新意識(shí)等。這些精神或意識(shí)一旦形成，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品位自然就提高了。

人民教育出版社編審章建躍指出，“對(duì)未知事物的探索是學(xué)生的天性，需要教師倍加愛(ài)護(hù)”?！白鰯?shù)學(xué)”正是激發(fā)學(xué)生對(duì)未知世界的好奇心、培養(yǎng)學(xué)生探索事物本質(zhì)和規(guī)律的興趣、發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的好方法，是讓學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、愿意學(xué)數(shù)學(xué)、智慧學(xué)數(shù)學(xué)、高品位地學(xué)數(shù)學(xué)的好方式，還是實(shí)現(xiàn)育人方式改革的一條創(chuàng)新路徑。

（作者系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室主任）

《中國(guó)教育報(bào)》2022年10月14日第9版